Question

5．已知雙曲線C₁與雙曲線C₂的焦點(diǎn)重合，C₁的方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，若C₂的一條漸近線的傾斜角是C₁的一條漸近線的傾斜角的2倍，則C₂的方程為${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用漸近線的傾斜角的關(guān)系，列出方程，然后求解即可．

解答 解：雙曲線C₁與雙曲線C₂的焦點(diǎn)重合，C₁的方程為$\frac{x^2}{3}-{y^2}=1$，焦點(diǎn)坐標(biāo)（±2，0）．
雙曲線C₁的一條漸近線為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}x$，傾斜角為30°，
C₂的一條漸近線的傾斜角是C₁的一條漸近線的傾斜角的2倍，可得C₂的漸近線y=$±\sqrt{3}x$．
可得$\frac{a}=\sqrt{3}$，c=2，解得a=1，b=$\sqrt{3}$，
所求雙曲線方程為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．
故答案為：${x^2}-\frac{y^2}{3}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計(jì)算能力．