Question

【題目】《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．在如圖所示的陽馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE．
（1）證明：DE⊥平面PBC．
（2）試判斷四面體EBCD是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請說明理由；
（3）記陽馬P﹣ABCD的體積為V1 ， 四面體EBCD的體積為V2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC．

由底面ABCD為長方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．

DE平面PCD，所以BC⊥DE．

又因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE⊥PC．

而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC

（2）解：由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，

可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，

其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB

（3）由已知，PD是陽馬P﹣ABCD的高，

所以 = ；

由（1）知，DE是鱉臑D﹣BCE的高，BC⊥CE，

所以 ．

在Rt△PDC中，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DE=CE+

于是 = =4

【解析】（1）推導(dǎo)出PD⊥BC，BC⊥CD，從而BC⊥平面PCD，進(jìn)而BC⊥DE，再由DE⊥PC，能證明DE⊥平面PBC．（2）由BC⊥平面PCD，DE⊥平面PBC，能得到四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是∠BCD，∠BCE，∠DEC，∠DEB．（3）由PD是陽馬P﹣ABCD的高，得到 = ；由DE是鱉臑D﹣BCE的高，得到 ．由此能求出 的值．