Question

9．過拋物線y²=4x交點F的直線，交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂＞0，y₁＞0，y₂＜0）兩點，$|{AB}|=\frac{25}{4}$．
（1）求直線AB的方程；
（2）求△AOB的外接圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線方程為y=k（x-1），與拋物線方程構(gòu)成方程組，根據(jù)韋達定理，和拋物線的定義，得到|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{25}{4}$，求出k，即可得到直線方程，
（2）先求出A，B的坐標(biāo)，再設(shè)△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系數(shù)法解得即可．

解答 解：拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為x=1，由拋物線的定義，得到|AB|=x₁+x₂+2，
設(shè)直線AB：y=k（x-1），而k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，（x₁＞x₂＞0，y₁＞0，y₂＜0），
∴k＞0，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得到k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$，
∴|AB|=x₁+x₂+2=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$+2=$\frac{25}{4}$，
解得k=$\frac{4}{3}$，
∴直線方程為y=$\frac{4}{3}$（x-1），即4x-3y-4=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{4x-3y-4=0}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得到A（4，4），B（$\frac{1}{4}$，-1），
設(shè)△ABC的外接圓方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則
$\left\{\begin{array}{l}{F=0}\\{16+16+4D+4E+F=0}\\{\frac{1}{16}+1+\frac{1}{4}D-E+F=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=-\frac{29}{4}}\\{E=-\frac{3}{4}}\\{F=0}\end{array}\right.$，
故△ABC的外接圓方程為x²+y²-$\frac{29}{4}$x-$\frac{3}{4}$y=0

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，直線和拋物線的交點的距離，圓的一般方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．