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如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點，E是B1C的中點．

(1)求cos(，)．

(2)在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

 　　解：(1)以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz

　　解：(1)以B為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系B－xyz．

　　因為AC＝2a，∠ABC＝，所以AB＝BC＝a．

　　所以B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)，

　　所以B1(0，0，3a)，A1(a，0，3a)，C1(0，a，3a)，

　　所以D(a，a，3a)，E(0，a，a)．

　　所以＝(a，－a，3a)，＝(0，a，a)，

　　故||＝a，||＝a．

　　又·＝0－a2＋a2＝a2，

　　所以cos(，)＝＝．

　　(2)假設存在點F，使CF⊥面B1DF，不妨設AF＝b，則F(a，0，b)．

　　所以＝(a，－a，b)，＝(a，0，b－3a)，＝(a，a，0)．

　　因為·＝a2－a2＋0＝0，

　　所以⊥恒成立．

　　由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a．

　　所以，當||＝a或||＝2a時，CF⊥平面B1DF．


練習冊系列答案
相關習題

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(1)若直線QP與橢圓C的右準線相交于點M，求點M的軌跡方程；

(2)當梯形PABQ周長最大時，求橢圓C的方程．

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如圖所示，橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，A，P，F分別為左頂點，上頂點，右焦點，E為x軸正方向上一點，且||，||，||成等比數列．又點N滿足＝(＋)，PF的延長線與橢圓的交點為Q，過Q與x軸平行的直線與PN的延長線交于M．

(1)求證：·＝·．

(2)若＝2，且||＝，求橢圓方程．

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如圖所示，某電子器件是由三個電阻組成的回路，其中共有六個焊接點A，B，C，D，E，F，如果某個焊接點脫落，整個電路就會不通．

(1)求因焊接點脫落致使電路不通的所有不同的脫落種數．

(2)每個焊接點脫落的概率均是，現在發(fā)現電路不通了，那么至少有兩個焊接點脫落的概率是多少？

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解答題

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)

建立適當的坐標系，求橢圓方程；

(2)

如果橢圓上有兩點P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：．

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