如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中點(diǎn)，E是B1C的中點(diǎn)．

(1)求cos(，)．

(2)在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出||；若不存在，請說明理由．

答案：
解析：

 　　解：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz

　　解：(1)以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系B－xyz．

　　因?yàn)锳C＝2a，∠ABC＝，所以AB＝BC＝a．

　　所以B(0，0，0)，A(a，0，0)，C(0，a，0)，

　　所以B1(0，0，3a)，A1(a，0，3a)，C1(0，a，3a)，

　　所以D(a，a，3a)，E(0，a，a)．

　　所以＝(a，－a，3a)，＝(0，a，a)，

　　故||＝a，||＝a．

　　又·＝0－a2＋a2＝a2，

　　所以cos(，)＝＝．

　　(2)假設(shè)存在點(diǎn)F，使CF⊥面B1DF，不妨設(shè)AF＝b，則F(a，0，b)．

　　所以＝(a，－a，b)，＝(a，0，b－3a)，＝(a，a，0)．

　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60B1/0003/0442/96c44fbd94f22dca6516c6c6fbde0b48/C/Image2867.gif">·＝a2－a2＋0＝0，

　　所以⊥恒成立．

　　由·＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0，得b＝a或b＝2a．

　　所以，當(dāng)||＝a或||＝2a時(shí)，CF⊥平面B1DF．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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如圖所示，已知圓的方程是(x－1)2＋y2＝1，四邊形PABQ為該圓內(nèi)接梯形，底邊AB為圓的直徑且在x軸上，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓C過P，Q兩點(diǎn)．

(1)若直線QP與橢圓C的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)梯形PABQ周長最大時(shí)，求橢圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

如圖所示，橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，A，P，F(xiàn)分別為左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，E為x軸正方向上一點(diǎn)，且||，||，||成等比數(shù)列．又點(diǎn)N滿足＝(＋)，PF的延長線與橢圓的交點(diǎn)為Q，過Q與x軸平行的直線與PN的延長線交于M．

(1)求證：·＝·．

(2)若＝2，且||＝，求橢圓方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2004年高考教材全程總復(fù)習(xí)試卷·數(shù)學(xué) 題型：044

如圖所示，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路，其中共有六個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通．

(1)求因焊接點(diǎn)脫落致使電路不通的所有不同的脫落種數(shù)．

(2)每個(gè)焊接點(diǎn)脫落的概率均是，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么至少有兩個(gè)焊接點(diǎn)脫落的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2007屆潛山中學(xué)理復(fù)(一、二)數(shù)學(xué)周考試卷 題型：044

解答題

如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)A是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，BC過橢圓中心O，且，|BC|＝2|AC|．

(1)

建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓方程；

(2)

如果橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，使∠PCQ的平分線垂直于AO，證明：．

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