Question

【題目】已知直線l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）證明：直線l過(guò)定點(diǎn)；
（2）若直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，求k的取值范圍；
（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l的方程可化為y=k（x+2）+1，

故無(wú)論k取何值，直線l總過(guò)定點(diǎn)（﹣2，1）．

（2）解：直線l的方程可化為y=kx+2k+1，則直線l在y軸上的截距為2k+1，

要使直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，則 ，

解得k的取值范圍是k≥0．

（3）解：依題意，直線l在x軸上的截距為﹣ ，在y軸上的截距為1+2k，

∴A（﹣ ，0），B（0，1+2k），

又﹣ ＜0且1+2k＞0，

∴k＞0，故S= |OA||OB|= × （1+2k）

= （4k+ +4）≥ （4+4）=4，

當(dāng)且僅當(dāng)4k= ，即k= 時(shí)，取等號(hào)，

故S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x﹣2y+4=0．

【解析】1、由特殊值法可求出直線l總過(guò)定點(diǎn)（﹣2，1）。
2、根據(jù)題意把直線的方程化為斜截式，由斜率和y軸上的截距限制直線l不經(jīng)過(guò)第四象限，即得k的取值范圍。
3、根據(jù)題意可求得，直線l在x軸上的截距和在y軸上的截距，由已知x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，所以得到k的取值范圍；利用基本不等式可求得S的最小值為4，當(dāng)且僅當(dāng)4k= ,即k= 時(shí)成立，故求得S的最小值為4，此時(shí)直線l的方程為x﹣2y+4=0。
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大），要注意滿(mǎn)足三個(gè)條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．