Question

【題目】已知 m>1 且關(guān)于 x 的不等式 的解集為 [0,4] .
①求 m 的值；
②若 a ， b 均為正實(shí)數(shù)，且滿足 a+b=m ，求 a2+b2 的最小值.

Answer 1

【答案】【解答】①因?yàn)?m>1 ，不等式 可化為 ，
∴ ，即 ，
∵其解集為 [0,4] ，∴ ， m=3 .
②由①知 a+b=3 ，
(方法一：利用基本不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法二：利用柯西不等式)
∵ ，
∴ ，∴ a2+b2 的最小值為 .
(方法三：消元法求二次函數(shù)的最值)
∵ a+b=3 ，∴b=3-a ，
∴ ，
∴ a2+b2 的最小值為 .
【解析】本題主要考查了二維形式的柯西不等式，解決問題的關(guān)鍵是(1)先利用 求出不等式的解集，再結(jié)合解集的端點(diǎn)值進(jìn)行求解；(2)解法一：根據(jù)兩正數(shù)為定和，兩邊平方，借助 進(jìn)行求解；解法二：構(gòu)造柯西不等式的形式進(jìn)行求解；解法三：消元，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于 a 的二次函數(shù)進(jìn)行求解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二維形式的柯西不等式的相關(guān)知識(shí)，掌握二維形式的柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．