Question

14．已知，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）．
（1）若在極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，$\frac{π}{3}$），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（2）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求點Q到直線l的距離的最大值與最小值的和．

Answer 1

分析 （1）把點P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{3}）$化為直角坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為直角坐標(biāo)方程，把點P的坐標(biāo)代入直線l的方程是否滿足即可判斷出位置關(guān)系．
（2）點Q是曲線C上的一個動點，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=1，利用點到直線的距離公式可得圓心到直線的距離d，故點Q到直線l的距離的最小值為d-r，最大值為d+r，即可得出．

解答 解：（1）把點P的極坐標(biāo)為$（4，\frac{π}{3}）$化為直角坐標(biāo)為（2，2$\sqrt{3}$），
把直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t+1}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為直角坐標(biāo)方程為y=$\sqrt{3}$x+1，
由于點P的坐標(biāo)不滿足直線l的方程，故點P不在直線l上．
（2）∵點Q是曲線C上的一個動點，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），
把曲線C的方程化為直角坐標(biāo)方程為（x-2）²+y²=1表示以C（2，0）為圓心、半徑等于1的圓，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}-0+1|}{\sqrt{3+1}}$=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$，
故點Q到直線l的距離的最小值為d-r=$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$，最大值為d+r=$\sqrt{3}$$+\frac{3}{2}$，
∴點Q到直線l的距離的最大值與最小值的和為2$\sqrt{3}$+1．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．