Question

各棱長均為2的斜三棱柱ABC-DEF中，已知BF⊥AE，BF∩CE=O，AB=AE，連接AO．
（I）求證：AO⊥平面FEBC．
（II）求二面角B-AC-E的大�。�
（III）求三棱錐B-DEF的體積．

Answer 1

分析：（I）在平面內(nèi)找到兩條相交直線與直線AO垂直即可證明線面垂直．
（II）求二面角的平面角分為三步：①作角即作出二面角的平面角②證角即證明所作的角是所求的角③利用解三角形的知識求出二面角的大小．
（III）利用等體積法求出距離，即把三棱錐的頂點換一個使其高與底面積都易求．

解答：解：（I）因為BCFE是菱形，所以BF⊥EC．
又因為BF⊥AE，且AE∩ED=E，所以BF⊥平面AEC．
而AO?平面SEC，所以BF⊥AO，
因為AE=AB，AB=AC，
所以AE=AC．
所以AO⊥EC，且BF∩EC=O，所以AO⊥平面BCFE．
（II）取AC的中點H，連接BH，OH，
因為△ABC是等邊三角形，
所以BH⊥AC．
因為OB⊥平面ACE，
所以OH是BH在平面AOC上的射影，所以OH⊥AC．
所以∠OHB是二面角B-AC-E的平面角．
因為△AOE≌△AOB，所以OE=OB．
所以四邊形BCFE為正方形．
在直角△BCO中，BH=

3

，BO=

2

，
所以sin∠BHO=arcsin

6

3

．
所以二面角B-AC-E的大小為arcsin

6

3

．
（III）∵DA∥BE，BE?平面BCFE，
∴DA∥平面BCFE，
∴點D、A到平面BCFE的距離相等
∴V_B-DEF=V_D=BEF=V_A-BEF

∴VB-DEF=

2 2

3

．

點評：解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而解決線面垂直與平行問題以及空間角、空間距離問題，主要考查學生的空間想象能力與推理論證能力．