Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，如果?x∈D，存在唯一的y∈D，使

f(x)+f(y)

2

=C（C為常數(shù)）成立．則稱函數(shù)f（x）在D上的“均值”為C．已知四個函數(shù)：①y=x³（x∈R）；②y=(

1

2

)x（x∈R）；③y=lnx（x∈（0，+∞））；④y=

x

上述四個函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是

 

．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號）

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)題意，求各個函數(shù)的單調(diào)性與值域，從而確定函數(shù)是否滿足條件．

解答： 解：∵y=x³在R上是增函數(shù)，
且其值域為R，
∴對?x∈R，若

f(x)+f(y)

2

=1，
則f（y）=2-f（x）有且只有一個y∈R成立；故①正確；
∵y=(

1

2

)x的值域為（0，+∞），
∴若x＜-1，則f（y）=2-f（x）＜0，故沒有y∈R使之成立；
故②不正確；
∵y=lnx在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域為R，
∴對?x∈R，f（y）=2-f（x）有且只有一個y∈R成立；故③正確；
∵y=

x

的值域為[0，+∞），且單調(diào)遞增，
故當(dāng)x＞4時，則f（y）=2-f（x）＜0，故沒有y∈[0，+∞）使之成立；
故④不成立．
故答案為：①③．

點評：本題考查了學(xué)生對新知識的接受能力及應(yīng)用能力，同時考查了函數(shù)的值域與函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．