Question

已知函數(shù)f（x）=x²-6x+4lnx+a．
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a為何值時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求f′（x），令f′（x）=0，可得到x=1，或2，通過判斷導(dǎo)數(shù)f′（x）的符號即可找到f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）容易判斷出f（1）是f（x）的極大值，f（2）是f（x）的極小值，所以a需滿足

f(1)＞0 f(2)＜0

．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-6+

4

x

=

2(x2-3x+2)

x

；
∴0＜x＜1，或x＞2時(shí)，f′（x）＞0，1＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1]，[2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（2）由（1）知f（1）是f（x）的極大值，f（2）是f（x）的極小值；
∴若f（x）=0有三個(gè)不同實(shí)根；
∴

f(1)=a-5＞0 f(2)=-8+4ln2+a＜0

；
∴5＜a＜8-4ln2；
即a∈（5，8-4ln2）時(shí)，方程f（x）=0有三個(gè)不同的實(shí)根．

點(diǎn)評：考查根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，找函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法，函數(shù)極值的概念以及求法．