Question

【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱(chēng)之為塹堵；將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑[biē nào]．某學(xué)�？茖W(xué)小組為了節(jié)約材料，擬依托校園內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個(gè)塹堵形的封閉的實(shí)驗(yàn)室,是邊長(zhǎng)為2的正方形．

（1）若，在上，四面體是否為鱉臑，若是，寫(xiě)出其每個(gè)面的直角：若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)陽(yáng)馬的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

【答案】（1）是；四個(gè)直角分別為、、、；（2）

【解析】

（1）由題意可知，，，都是直角三角形，再證明面，得到，可得直角三角形，可以得到四面體是為鱉臑，再寫(xiě)出四個(gè)直角即可；

（2）由和，求出，此時(shí)，即此時(shí)陽(yáng)馬的體積最大，然后利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離即可.

（1）如圖，連接和，

由題意可知，，都是直角三角形，

面，在平面內(nèi)，∴，

又∵，且，∴面

又在面內(nèi)，故，

∴直角三角形．

∴四面體四個(gè)面都是直角三角形，故四面體是鱉臑．

在中，是直角，

在中，是直角，

在中，是直角，

在中，是直角.

（2）在中，

由，得，（取得等號(hào)）

由題意可知，面

∴陽(yáng)馬的體積：，（取得等號(hào)）

所以以為頂點(diǎn)，以底面的三棱錐體積最大值為：

在中，，

設(shè)到面距離為，則以為頂點(diǎn)，以底面時(shí)，三棱錐體積：，即，

解得：，

即點(diǎn)到面距離為.