如圖,CD為△ABC外接圓的切線(xiàn),AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交直線(xiàn)CD于點(diǎn)D,E、F分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn),且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四點(diǎn)共圓.

(1)證明:CA是△ABC外接圓的直徑;
(2)若DB=BE=EA,求過(guò)B、E、F、C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.

(1)見(jiàn)解析   (2)

解析(1)證明:因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線(xiàn),所以∠DCB=∠A,由題設(shè)知=,故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.

因?yàn)锽,E,F,C四點(diǎn)共圓,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圓的直徑.
(2)解:連接CE,因?yàn)椤螩BE=90°,
所以過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的直徑為CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,
故過(guò)B,E,F,C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，圓與圓交于兩點(diǎn)，以為切點(diǎn)作兩圓的切線(xiàn)分別交圓和圓于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)．已知．

（1）求的長(zhǎng)；       
（2）求．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，PBC是過(guò)點(diǎn)O的割線(xiàn)，PA=10，PB=5。

求：（1）⊙O的半徑；
（2）s1n∠BAP的值。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示,為圓的切線(xiàn),為切點(diǎn),，的角平分線(xiàn)與和圓分別交于點(diǎn)和.

（1）求證（2）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，AE是圓O的切線(xiàn)，A是切線(xiàn)，于，割線(xiàn)EC交圓O于B，C兩點(diǎn).

（1）證明：O，D，B，C四點(diǎn)共圓；
（2）設(shè)，，求的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，AB為⊙O的直徑，直線(xiàn)CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE.證明：
 
(1)∠FEB＝∠CEB；
(2)EF2＝AD·BC.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示，若△ABC為等腰三角形，△ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AB2＝DB·CE.

(1)求證：△ADB∽△EAC；
(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，過(guò)圓O外一點(diǎn)M作它的一條切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，過(guò)A點(diǎn)作直線(xiàn)AP垂直直線(xiàn)OM，垂足為P.

(1)證明：OM·OP＝OA2；
(2)N為線(xiàn)段AP上一點(diǎn)，直線(xiàn)NB垂直直線(xiàn)ON，且交圓O于B點(diǎn)．過(guò)B點(diǎn)的切線(xiàn)交直線(xiàn)ON于K.證明：∠OKM＝90°.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位線(xiàn)，BD交EF于P，已知EP∶PF＝1∶2，AD＝7cm，求BC的長(zhǎng)．

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同步練習(xí)冊(cè)答案