Question

已知y=f（x）的定義域（0，+∞）且滿足以下三個(gè)條件：
①對(duì)任意實(shí)數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）成立；
②f（x）在定義域上單調(diào)遞減；
③f（2）=-1．
（Ⅰ）求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）求不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件，利用賦值法即可求f（1），f（4）的值；
（Ⅱ）將不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求出不等式的解集．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（mn）=f（m）+f（n），
∴當(dāng)m=n=1時(shí)f（1×1）=f（1）+f（1）=f（1），即f（1）=0，
∵f（2）=-1，則f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2f（2）=-2，
即f（1）=0，f（4）=-2；
（Ⅱ）不等式f（x²-x）≤f（3x+2）+2等價(jià)為f（x²-x）-2≤f（3x+2），
即f（x²-x）+f（4）≤f（3x+2），
則f[4（x²-x）]≤f（3x+2），
∵f（x）在定義域上單調(diào)遞減；
∴不等式滿足

x2-x≥3x+2 3x+2＞0

，
即

x2-4x-2≥0 x＞- 2 3

，則

x≥2+ 6 或x≤2- 6 x＞- 2 3

，
即x≥2+

6

，
即不等式的解集為[2+

6

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算以及不等式的求解，利用抽象函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合賦值法是解決本題的關(guān)鍵．