Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，且前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=n²a_n，求a₂，a₃，a₄，猜想{a_n}的通項(xiàng)公式，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：利用數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，得到關(guān)于數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可求得此數(shù)列的前幾項(xiàng)．猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題時(shí)分為兩個(gè)步驟，第一步，先證明當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立，第二步，先假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，利用此假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立即可．

解答： 解：（1）∵a₁=

1

2

，且前n項(xiàng)和S_n滿足：S_n=n²a_n，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n
∴a_n+1=

n

n+2

a_n，
∴a₂=

1

6

，a₃=

1

12

，a₄=

1

20

，
（2）猜測(cè)a_n=

1

n(n+1)

；下面用數(shù)學(xué)歸納法證
①當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a_k=

1

k(k+1)

則當(dāng)n=k+1時(shí)，a_k+1=

k

k+2

a_k=

k

k+2

×

1

k(k+1)

=

1

(k+1)(k+2)

故當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也成立．
由①、②可知，對(duì)于任意的n∈N^*，都有a_n=

1

n(n+1)

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的基本形式設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1°P（n₀）成立2°假設(shè)P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切大于等于n₀的自然數(shù)n都成立．