Question

已知函數(shù)f（x）=

x

ex+m

，m∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）若x=1是f（x）的極值點(diǎn)，求m的值；
（Ⅱ）證明：當(dāng)0＜a＜b＜1時，be^a+a＜ae^b+b．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由x=1是f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（1）=0，可得m=0，檢驗(yàn)即可；
（Ⅱ）取m=-1，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（1-x）-1，再求導(dǎo)數(shù)，判斷在x＞0上的單調(diào)性，再運(yùn)用條件，結(jié)合單調(diào)性即可得證．

解答： （Ⅰ）解：由f(x)=

x

ex+m

，則f′(x)=

ex+m-x•ex

(ex+m)2

=

ex(1-x)+m

(ex+m)2

，
由x=1是f（x）的極值點(diǎn)，得f′(1)=

m

(e+m)2

=0，
解得m=0，
此時f(x)=

x

ex

，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是f（x）的極值點(diǎn)．
則所求的實(shí)數(shù)m的值為0．
（Ⅱ）證明：取m=-1時，f(x)=

x

ex-1

，此時f′(x)=

ex(1-x)-1

(ex-1)2

．
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x（1-x）-1，
則h'（x）=e^x（1-x）+e^x（-1）=-xe^x在（0，+∞）上恒負(fù)，
即有h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
即有h（x）＜h（0）=0，
故f'（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
說明f(x)=

x

ex-1

在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
即有當(dāng)0＜a＜b＜1時，

b

eb-1

＜

a

ea-1

，
又因?yàn)閑^b＞e^a＞1，所以e^b-1＞0，e^a-1＞0，
則有b（e^a-1）＜a（e^b-1），
所以be^a+a＜ae^b+b成立．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．