Question

10．若非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，則$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$得出（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，從而求出|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|cosθ，再求$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的最大值．

解答 解：非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow{a}$，
∴（$\overrightarrow{a}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow$）•$\overrightarrow{a}$=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
∴|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow$|cosθ，θ為$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow$的夾角；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$=$\frac{\sqrt{2}|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\sqrt{2}$cosθ≤$\sqrt{2}$，
即$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}$的最大值為$\sqrt{2}$．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與夾角、模長的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．