Question

如圖，已知直線(xiàn)l：4x-3y+6=0，拋物線(xiàn)C：y²=4x圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l與y軸的距離之和的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a²，2a），利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，建立P到直線(xiàn)l與y軸的距離之和關(guān)于字母a的二次函數(shù)表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)加以計(jì)算，可得當(dāng)P的坐標(biāo)為（

1

3

，

2

3

）時(shí)所求距離之和的最小值為1．

解答：解：∵動(dòng)點(diǎn)P在拋物線(xiàn)C：y²=4x上，
∴設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a²，2a），可得P到y(tǒng)軸的距離d₁=a²．
P到直線(xiàn)l：4x-3y+6=0的距離d₂=

|4a2-6a+6|

42+(-3)2

=

1

5

|4a²-6a+6|，
∵4a²-6a+6=4（a-

3

4

）²+

15

4

＞0，
∴d₂=

1

5

（4a²-6a+6），
可得動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l與y軸的距離之和為：
d₁+d₂=a²+

1

5

（4a²-6a+6）=

9

5

（a²-

2

3

a+

2

3

）=

9

5

（a-

1

3

）²+1，
由此可得當(dāng)a=

1

3

時(shí)，d₁+d₂的最小值為1，
即當(dāng)P的坐標(biāo)為（

1

3

，

2

3

）時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P到直線(xiàn)l與y軸的距離之和的最小值為1．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題求拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)到兩條定直線(xiàn)的距離之和的最小值．著重考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．