Question

設(shè)a=x²-x+1，b=x²-2x，c=2x-1，若a，b，c分別為△ABC的相應(yīng)三邊長，
（1）求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）求△ABC的最大內(nèi)角；
（3）設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，求

R

r

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）構(gòu)成三角形的條件是三邊均為正數(shù)，且任意兩邊之和大于第三邊，可求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）先根據(jù)邊長之間的關(guān)系，確定A為最大角，進(jìn)而利用余弦定理，可求△ABC的最大內(nèi)角；
（3）根據(jù)正弦定理確定△ABC的外接圓半徑為R，根據(jù)等面積確定內(nèi)切圓半徑為r，從而可得

R

r

的不等式，進(jìn)而可求其取值范圍．

解答：解：（1）由題意，
∵構(gòu)成三角形的條件是三邊均為正數(shù)，∴

x2-x+1＞0 x2-2x＞0 2x-1＞0

⇒

x＞2或x＜0 x＞ 1 2

，∴x＞2，
又∵任意兩邊之和大于第三邊
∴a-b=x+1＞0，a-c=（x-1）（x-2）＞0
∴b+c＞a，∴x²-2x+2x-1＞x²-x+1，∴x＞2…（4分）
（2）由（1）可知A為最大角，cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

(x2-2x)2+ (2x-1)2-(x2-x+1)2

2(x2-2x)(2x-1)

=-

1

2

，
∵A為三角形的內(nèi)角，∴A=120°．…（10分）
（3）根據(jù)正弦定理得：R=

a

2sinA

=

x2-x+1

3

…（11分）
利用三角形的面積相等可得S△ABC(x)=

1

2

bcsinA=

3

4

x(x-2)(2x-1)，
∴r=

2s

a+b+c

=

3

2

(x-2)…（12分）
∴

R

r

=

2(x2-x+1)

3(x-2)

(x＞2)…（14分）
令x-2=t＞0，則

R

r

=

2

3

(t+

3

t

+3)
∵t＞0，
∴t+

3

t

≥ 2

3

∴

R

r

≥

6+4 3

3

∴

R

r

∈[

6+4 3

3

，+∞)…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是解三角形，主要考查構(gòu)成三角形的條件，考查正弦、余弦定理，同時(shí)考查基本不等式的運(yùn)用，其中構(gòu)建

R

r

的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．