Question

16．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{3}{5}$，a_n=2-$\frac{1}{{{a_{n-1}}}}$（n≥2），數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}-1}}$．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}中的最大項與最小項；
（3）設數(shù)列{c_n}滿足c_n=$\frac{4}{{（{2{b_n}+7}）（{2{b_n}+9}）}}$，求數(shù)列{c_n}前n項和．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的定義進行證明；
（2）從數(shù)列的通項公式上分析最大項和最小項；
（3）將數(shù)列{b_n}的通項公式代入得到數(shù)列{c_n}通項公式，利用裂項求和．

解答 （1）證明：由題${b_{n+1}}-{b_n}=\frac{1}{{{a_{n+1}}-1}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{1}{{1-\frac{1}{a_n}}}-\frac{1}{{{a_n}-1}}=\frac{{{a_n}-1}}{{{a_n}-1}}=1$
又${b_n}=\frac{1}{{{a_1}-1}}=-\frac{5}{2}$，∴{b_n}是以$-\frac{5}{2}$為首項，1為等差數(shù)列．
（2）解：由（1）${b_n}=n-\frac{7}{2}$，∴$\frac{1}{{{a_1}-1}}=n-\frac{7}{2}$，∴${a_n}=\frac{2}{2n-7}+1$，
當n≤3時，$\frac{3}{5}={a_1}＞{a_2}＞{a_3}=-1$；當n≥4時，3=a₄＞a₅＞a₆＞…
∴{a_n}中的最大項為a₄=3，最小項為a₃=-1．
（3）${c_n}=\frac{4}{{2n（{2n+2}）}}=\frac{1}{{n（{n+1}）}}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，∴{a_n}前n項和為${T_n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的定義以及裂項求和的方法；屬于中檔題．