Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），則m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

的整數(shù)部分是（　�。�

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：由題設(shè)知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），故

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，累加得m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

=

1

a1-1

-

1

a2010-1

=2-

1

a2010-1

．由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，知a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₂₀₀₈≥a₃＞2，0＜

1

a2010-1

＜1，故1＜m＜2，所以m的整數(shù)部分為1．

解答：解：由題設(shè)知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通過累加，得
m=

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2009

=

1

a1-1

-

1

a2010-1

=2-

1

a2010-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a1=

3

2

，
得a2=

7

4

，
得a₃=

37

16

．
∴a₂₀₁₀≥a₂₀₀₉≥a₂₀₀₈≥a₃＞2，
∴0＜

1

a2010-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整數(shù)部分為1．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用數(shù)列的遞推式．