Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax-4，a∈R．
（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）f（x）在[1，2]內(nèi)的最小值為g（a），求g（a）的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)是偶函數(shù)，建立方程f（-x）=f（x）的關(guān)系，即可求a．
（2）利用f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，得到對(duì)稱軸與x=1之間的關(guān)系，可求a的取值范圍．
（3）討論對(duì)稱軸和區(qū)間[1，2]之間的關(guān)系，求g（a）的函數(shù)表達(dá)式．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+2ax-4，∴若f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），
即x²-2ax-4=x²+2ax-4，
∴-2ax=2ax恒成立，判斷得a=0．
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+2ax-4的對(duì)稱軸為x=-a，
∴要使f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，則-a≤1，
∴a≥-1．
（3）f（x）=x²+2ax-4=（x+a）²-4-a²，對(duì)稱軸為x=-a．
①當(dāng)-a＜1，即a＞-1時(shí)，f（x）在[1，2]遞增，
f（x）_min=f（1）=2a-3．
②當(dāng)-a＞2，即a＜-2時(shí)，f（x）在[1，2]遞減，
f（x）_min=f（2）=4a．
③當(dāng)-2≤a≤-1時(shí)，
f（x）_min=f（-a）=-4-a，．
綜上g(x)=

2a-3，a＞-1 -a2-4，-2≤a≤-1 4a，a＜-2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．