Question

已知函數(shù)f（x）=x（x-

1

2

）的定義域?yàn)椋╪，n+1）（n∈N^*），f（x）的函數(shù)值中所有整數(shù)的個(gè)數(shù)記為g（n）．
（1）求出g（3）的值；
（2）求g（n）的表達(dá)式；
（3）若對(duì)于任意的n∈N^*，不等式（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25（其中C_nⁱ，i=1，2，3，…，n為組合數(shù)）都成立，求實(shí)數(shù)l的最小值．

Answer 1

（1）當(dāng)n≥1時(shí)，f（x）在[n，n+1]上是增函數(shù)，
n=1時(shí)，f（1）=

1

2

，f（2）=2×（2-

1

2

）=3；有整數(shù)1，2，故g（1）=2；
n=2時(shí)，f（3）=3×（3-

1

2

）=

15

2

，有整數(shù)4，5，6，7；故g（2）=4；
n=3時(shí)，f（4）=4×（4-

1

2

）=14，有整數(shù)8，9，10，11，12，13；故g（3）=6；
n=4時(shí)，f（5）=5×（5-

1

2

）=

45

2

，有整數(shù)15，16，17，18，19，10，21，22；故g（4）=8；
n=5時(shí)，f（6）=6×（6-

1

2

）=33，有整數(shù)23，24，25，26，27，28，29，30，31，32；故g（5）=10；
（2）∴g（n）=2n．
（3）∴（C_n⁰+C_n¹+…+C_nⁿ）l≥g（n）-25?2ⁿ•L≥2n-25?L≥

2n-25

2n

令an=

2n-25

2n

，
則a_n+1-a_n=

2(n+1)-25

2n+1

-

2n-25

2n

=

27-2n

2n+1

；
n≤13時(shí)，a_n+1-a_n＞0，{a_n}遞增；
n≥14時(shí)，a_n+1-a_n＜0，{a_n}遞減；
n=13時(shí)，a_n有最大值，a₁₃=

2×13-25

213

=

1

213

．
∴L的最小值為

1

213

．