Question

9．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若${S_n}={2^n}-a$，則數(shù)列$\left\{{\frac{a_n}{{（{{a_n}+a}）（{{a_{n+1}}+a}）}}}\right\}$的前100項和為（　�。�

• A． $\frac{{{2^{101}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$
• B． $\frac{{{2^{100}}-1}}{{{2^{100}}+1}}$
• C． $\frac{{{2^{101}}-1}}{{2（{{2^{101}}+1}）}}$
• D． $\frac{{{2^{100}}-1}}{{2（{{2^{100}}+1}）}}$

Answer 1

分析 通過${S_n}={2^n}-a$與S_n-1=2^n-1-a作差可知a_n=2^n-1（n≥2），進(jìn)而可知a_n=2^n-1，利用裂項相消法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵${S_n}={2^n}-a$，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-1=2^n-1-a，
兩式相減，得：a_n=2^n-1（n≥2），
又∵a₁=2-a，數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2，即$\frac{2}{2-a}$=2，a=1，
∴a_n=2^n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{（{a}_{n}+a）（{a}_{n+1}+a）}$=$\frac{1}{{a}_{n}+a}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}+a}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴所求值為$\frac{1}{{2}^{0}+1}$-$\frac{1}{2+1}$+$\frac{1}{2+1}$-$\frac{1}{{2}^{2}+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{99}+1}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{1}{{2}^{0}+1}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{2}^{100}+1}$
=$\frac{{2}^{100}-1}{2（{2}^{100}+1）}$，
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查裂項相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．