Question

19．設(shè)命題p：?x∈R，x²+x＞a，命題q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0
（1）寫出兩個命題的否定形式￢p和￢q；
（2）若命題（￢p）∨q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用特稱命題與全稱命題的關(guān)系即可得出．
（2）：?x∈R，x²+x＞a，可得：a＜（x²+x）_min，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．命題q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0，△≥0，解出即可得出．即可得出￢p，￢q．命題（￢p）∨q為假命題，可得：￢p與q都為假命題，p與￢q都為真命題．

解答 解：（1）￢p：?x₀，使得${x}_{0}^{2}+{x}_{0}$≤a；￢q：?x∈R，x²+2ax+2-a≠0．
（2）命題p：?x∈R，x²+x＞a，∵x²+x=$（x+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{4}$≥$-\frac{1}{4}$，∴a＜-$\frac{1}{4}$．
命題q：?x∈R，使x²+2ax+2-a=0，∴△=4a²-4（2-a）≥0，解得a≥1，或a≤-2．
∴￢p：a$≥-\frac{1}{4}$；￢q：-2＜a＜1．
∵命題（￢p）∨q為假命題，
∴￢p與q都為假命題，∴p與￢q都為真命題．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{4}}\\{-2＜a＜1}\end{array}\right.$，解得$-2＜a＜-\frac{1}{4}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$-2＜a＜-\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．