Question

已知函數(shù)f(x)=x-sin2x，x∈[0，

π

2

]，過點(diǎn)P（0，m）作曲線y=f（x）的切線，斜率恒大于零，則m的取值范圍為

[-π，

π

6

-

3

2

)

．

Answer 1

分析：先求導(dǎo)函數(shù)f′（x），根據(jù)x的范圍從而求出f′（x）的取值范圍，然后求出零界位置時(shí)m的取值，從而求出取值范圍．

解答：解：f′（x）′=1-2cos2x，x∈[0，

π

2

]
∴f′（x）∈[-1，3]，
當(dāng)f′（x）=3時(shí)，f（x）過點(diǎn)（

π

2

，

π

2

）
直線方程為：y-

π

2

=3（x-

π

2

），又過點(diǎn)P（0，m）
代入得m-

π

2

=3（0-

π

2

），解得m=-π
當(dāng)f′（x）=0時(shí)，f（x）過點(diǎn)（

π

6

，

π

6

-

3

2

）
直線方程為：y-

π

6

+

3

2

=0，又過點(diǎn)P（0，m）
m=

π

6

-

3

2

因此m的范圍是[-π，

π

6

-

3

2

）
故答案為：[-π，

π

6

-

3

2

)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及三角函數(shù)的值域，屬于中檔題．