Question

設(shè)，其中f（x）=lnx，且g（e）=（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（I）求p與q的關(guān)系；
（II）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；
（III）證明：
①f（1+x）≤x?（x＞-1）；
②（n∈N，n≥2）．

Answer 1

解：（I）由題意，
又g（e）=，∴，
∴，∴，
而，∴p=q
（II）由（I）知：，，
令h（x）=px²-2x+p．要使g（x）在（0，+∞）為單調(diào)函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿足：
h（x）≥0或h（x）≤0恒成立．
①p=0時，h（x）=-2x，∵x＞0，∴h（x）＜0，∴g'（x）=，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴p=0適合題意．
②當p＞0時，h（x）=px²-2x+p圖象為開口向上拋物線，
稱軸為x=∈（0，+∞）．∴h（x）_min=p-．只需p-≥0，即p≥1時h（x）≥0，g′（x）≥0，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∴p≥1適合題意．
③當p＜0時，h（x）=px²-2x+p圖象為開口向下的拋物線，其對稱軸為x=∉（0，+∞），
只需h（0）≤0，即p≤0時h（0）≤（0，+∞）恒成立．
∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴p＜0適合題意．
綜上①②③可得，p≥1或p≤0．
（III）證明：①即證：lnx-x+1≤0（x＞0），
設(shè)k（x）=lnx-x+1，則k'（x）=．
當x∈（0，1）時，k′（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當x∈（1，∞）時，k′（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=1為k（x）的極大值點，∴k（x）≤k（1）=0．即lnx-x+1≤0，
所以lnx≤x-1得證．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴∵n∈N^*，n≥2時，令x=n²，
得
∴，
∴
=
=
==
所以得證．
分析：對于（I）求p與q的關(guān)系；因為由已知可以很容易求出函數(shù)g（x）的表達式，在把x=e代入函數(shù)得關(guān)系式，化簡即可得到答案．
對于（II）若g（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；因為已知g（x）的函數(shù)表達式，可以直接求解導(dǎo)函數(shù)，當導(dǎo)函數(shù)恒大于等于0，或者恒小于等于0的時候，即單調(diào)．故可分類討論當p=0，p＞0，p＜0時滿足函數(shù)單調(diào)的p的值，求它們的并集即可得到答案．
對于（III）證明：①f（1+x）≤x?（x＞-1），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性直接證明．
②（n∈N，n≥2）．因為由①知lnx≤x-1，又x＞0，所以有，令x=n²，
得到不等式．代入原不等式化簡求解即可得到答案．
點評：此題主要考查函數(shù)的概念及由函數(shù)單調(diào)性證明不等式的問題，題目共有三問，涵蓋知識點多，計算量大，對學(xué)生靈活性要求較高，屬于難題．