Question

（2006•宣武區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足Sn=

1

4

(an+1)2，且a_n＞0
（Ⅰ）求a₁，a₂；
（Ⅱ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）令b_n=20-a_n，問數(shù)列{b_n}的前多少項(xiàng)的和最大？

Answer 1

分析：（I）根據(jù)Sn=

1

4

(an+1)2，且a_n＞0，令n=1可求a₁的值，令n=2時(shí)，可求a₂的值；
（II）由Sn=

1

4

(an+1)2，且a_n＞0可得當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1可得a_n-a_n-1=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）由b_n=20-a_n=21-2n可得S_n=-n²+20n=-（n-10）²+100，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求和的最大值及取得最大值的條件．

解答：解：（I）∵a1=S1=

1

4

(a1+1)2
∴a₁=1
又S2=a1+a2=

1

4

(a2+1)2
∴a₂=3…（3分）
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

1

4

[(an+1)2-(an-1+1)2]=

1

4

(

a

2 n

-

a

2 n-1

)+

1

2

(an-an-1)

∴(an+an-1)(an-an-1-2)=0 ∵an+an-1≠0 ∴an-an-1=2

∴{a_n}是公差為2的等差數(shù)列
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1…（8分）
（III）b_n=21-2n，易見b₁＞0，{b_n}是遞減數(shù)列
令

bn=21-2n≥0 bn+1=19-2n＜0

又n∈N^*，可得n=10
故{b_n}的前10項(xiàng)和最大…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了由數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)及數(shù)列的通項(xiàng)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能綜合應(yīng)用等差數(shù)列的綜合知識(shí)，屬于中檔題．