Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，側(cè)面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

．E、H分別為PA、AB的中點．
（I）求證：PH⊥AC；
（Ⅱ）求三棱錐P-EHD的體積．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）根據(jù)勾股定理得BC⊥PB，由ABCD為矩形，得BC⊥AB，從而BC⊥面PAB，進(jìn)而面PAB⊥面ABCD，由此能證明PH⊥平面ABCD，從而PH⊥AC．
（Ⅱ）由V_P-EHD=V_D-PEH，利用等積法能求出三棱錐P-EHD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵PAB為正三角形，AB=2，
∴PB=AB=2，
∵BC=

2

，PC=

6

，
∴PC²=BC²+PB²
∴根據(jù)勾股定理得BC⊥PB
∵ABCD為矩形
∴BC⊥AB
∵PB，AB∈面PAB且交于點B
∴BC⊥面PAB
∵BC∈面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
∵H分別AB的中點，PAB為正三角形，
∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴PH⊥AC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DA⊥平面PEH，DA=BC=

2

，
S_△PEH=

1

4

S△PAB=

1

4

×

1

2

×

4-1

×

2

=

6

8

，
∴三棱錐P-EHD的體積V_P-EHD=V_D-PEH
=

1

3

×DA×S△PEH=

1

3

×2×

6

8

=

6

12

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．