Question

15．設(shè)x，y滿足約束條件：$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{y≥\frac{1}{2}x}\\{2x+y≤10}\end{array}\right.$的可行域?yàn)镸．若存在正實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=2asin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{4}$）的圖象經(jīng)過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，則這時(shí)a的取值范圍是$[\frac{1}{2cos1}，+∞）$．

Answer 1

分析 畫(huà)出約束條件的可行域，判斷區(qū)域的中點(diǎn)的范圍，然后推出關(guān)系式，即可求解a的范圍．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，∴$A（1，\frac{1}{2}）$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=10}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=8}\end{array}}\right.$，∴B（1，8）．
由$\left\{{\begin{array}{l}{2x+y=10}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}}\right.$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}}\right.$，∴C（4，2），可行域M為如圖△ABC，
∵a＞0，$y=2asin（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）cos（\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）=asin（x+\frac{π}{2}）=acosx$過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，
而區(qū)域中1≤x≤4，
又∵a＞0，函數(shù)y=acosx圖象過(guò)點(diǎn)$（\frac{π}{2}，0），1＜\frac{π}{2}＜4$，
當(dāng)$x∈（{\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}}）$時(shí)，$y＜0，\frac{3π}{2}＞4$，
∴滿足y=acosx過(guò)區(qū)域M中的點(diǎn)，
只須圖象與射線$x=1，（y≥\frac{1}{2}）$有公共點(diǎn)．
∴只須x=1時(shí)，$acos1≥\frac{1}{2}$，∴$a≥\frac{1}{2cos1}$，
∴所求a的取值范圍是$a∈[{\frac{1}{2cos1}，+∞}）$．
故答案為：$[\frac{1}{2cos1}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用三角函數(shù)的公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．