Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱BC的中點，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P-C₁Q-C的余弦值為，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】分析：以A點為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為4，分別求出平面C₁PQ法向量和面C₁PQ的一個法向量，然后求出兩法向量的夾角，建立等量關(guān)系，即可求出參數(shù)λ的值．
解答：解：以為正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz，
設(shè)正方體的棱長為4，則各點的坐標分別為
A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；
A₁（0，0，4），B₁（4，0，4），C₁（4，4，4），
D₁（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）
設(shè)平面C₁PQ法向量為，
而，，
所以，
可得一個法向量=（1，-2（λ-1），（λ-1）），（6分）
設(shè)面C₁PQ的一個法向量為，
則，（8分）
即：，又因為點Q在棱CD上，所以．（10分）
點評：本題主要考查了二面角的度量，準確的建系，確定點坐標，熟悉向量的坐標表示，熟悉空間向量的計算在幾何位置的證明，在有關(guān)線段，角的計算中的計算方法是解題的關(guān)鍵．