已知拋物線C：y=2x2，直線：y=kx+2交拋物線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N．
證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行．
分析：把y=kx+2代入y=2x2，利用韋達定理，確定N的坐標，從而可得拋物線在點N處的切線l的方程，進而可證明切線l的與k相等，即可得到結(jié)論．
解答：證明：如圖，設(shè)A（x1，2
 x
2
1
），B（x2，2
 x
2
2
），

把y=kx+2代入y=2x2得：2x2-kx-2=0，
由韋達定理得：x1+x2=
k
2
，x1x2=-1，所以xN=xM=
x1+x2
2
=
k
4
，
即N點的坐標為（
k
4
，
k2
8
）．
設(shè)拋物線在點N處的切線l的方程為y-
k2
8
=m（x-
k
4
），
將y=2x2代入上式得：2x2-mx+
mk
4
-
k2
8
=0，
因為直線l與拋物線C相切，所以△=m2-8（
mk
4
-
k2
8
）=m2-2mk+k2=（m-k）2=0，
所以m=k，即l∥AB．
點評：本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查拋物線的切線，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知拋物線C：y=-x2+2x，在點A（0，0），B（2，0）分別作拋物線的切線L1、L2．
（1）求切線L1和L2的方程；
（2）求拋物線C與切線L1和L2所圍成的面積S．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=x2+4x+
7
2
，過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線．
（1）若拋物線C在點M的法線的斜率為-
1
2
，求點M的坐標（x0，y0）；
（2）設(shè)P（-2，4）為C對稱軸上的一點，在C上一定存在點，使得C在該點的法線通過點P．試求出這些點，以及C在這些點的法線方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=x2，從原點O出發(fā)且斜率為k0的直線l0交拋物線C于一異于O點的點A1（x1，y1），過A1作一斜率為k1的直線l1交拋物線C于一異于A1的點A2（x2，y2）…，過An作斜率為kn的直線ln交拋物線C于一異于An的點An+1（xn+1，yn+1）且知kn=k0n+1（k0＞0且k0≠1）．
（1）求x1，x2以及xn與xn+1之間的遞推關(guān)系式；
（2）求{xn}的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作軸的垂線交C于點N．  
（1）求三角形OAB面積的最小值；
（2）證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；
（3）是否存在實數(shù)k使NANB，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•武漢模擬）已知拋物線C：y=
1
2
x2與直線l：y=kx-1沒有公共點，設(shè)點P為直線l上的動點，過P作拋物線C的兩條切線，A，B為切點．
（1）證明：直線AB恒過定點Q；
（2）若點P與（1）中的定點Q的連線交拋物線C于M，N兩點，證明：
|PM|
|PN|
=
|QM|
|QN|
．

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