Question

（2012•湖南模擬）某商場(chǎng)根據(jù)調(diào)查，估計(jì)家電商品從年初（1月）開始的x個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量p（x）（百件）為p(x)=

x

2

(39x-2x2+41)(1≤x≤12且x∈N*)
（1）求第x個(gè)月的需求量f（x）的表達(dá)式．
（2）若第x個(gè)月的消售量滿足g(x)=

f(x)-21x，(1≤x＜7，x∈N*) x2 ex ( 1 3 x2-10x+96)，(7≤x≤12，x∈N*)

（單位：百件），每件利潤(rùn)q(x)=

100ex-6

x

元，求該商場(chǎng)銷售該商品，求第幾個(gè)月的月利潤(rùn)達(dá)到最大值？最大是多少？（e⁶取值為403）

Answer 1

分析：（1）利用f（x）=p（x）-p（x-1），可得第x個(gè)月的需求量f（x）的表達(dá)式．
（2）分類討論，求得函數(shù)的最值，比較即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）x≥2時(shí)，f（x）=p（x）-p（x-1）=-3x²+42x；當(dāng)x=1時(shí)，p（x）=39，也滿足
∴f（x）=-3x²+42x，（1≤x≤12，x∈N^*）
（2）設(shè)該商場(chǎng)第x個(gè)月的月利潤(rùn)為ω（x）元，則
1°當(dāng)1≤x＜7，x∈N^*時(shí)，ω(x)=(-3x2+42x-21x)•

10000ex-6

x

=30000(7-x)ex-6（5分）
ω'（x）=30000（6-x）e^x-6，令ω'（x）=0，∴x=6
∴ω（x）在[1，6]上單調(diào)遞增，在[6，7]上單調(diào)遞減
∴ω（x）_max=ω（6）=30000（8分）
2°當(dāng)7≤x≤12，x∈N^*時(shí)，ω(x)=

x2

ex

(

1

3

x2-10x+96)•

10000ex-6

x

=10000(

1

3

x3-10x2+96x)e-6
ω'（x）=10000（x-12）（x-8）e^-6，
∴ω（x）在[7，8]上單調(diào)遞增，在[8，12]上單調(diào)遞減
∴ω（x）_max=ω（8）＜30000（12分）
∴第6個(gè)月利潤(rùn)最大，是30000元 （13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．