Question

拋物線x²=2py（p＞0）內(nèi)接Rt△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜邊AB過(guò)點(diǎn)（　�。�

A．（2p，0）

B．（p，0）

C．（0，2p）

D．（0，p）

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線OA的方程為y=kx，由于OA⊥OB，可得直線OB的方程為：y=-

1

k

x．分別與拋物線的方程聯(lián)立即可解得A，B的坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式方程可得直線AB的方程，進(jìn)而得出過(guò)定點(diǎn)．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線OA的方程為y=kx，
∵OA⊥OB，∴直線OB的方程為：y=-

1

k

x．
聯(lián)立

y=kx x2=2py

，解得A（2pk，2pk²）．
同理解得B(

-2p

k

，

2p

k2

)．
∴kAB=

2pk2- 2p k2

2pk+ 2p k

=k-

1

k

，
∴斜邊AB所在的直線方程為y-2pk2=(k-

1

k

)(x-2pk)，
令x=0，則y=2p．
∴Rt△OAB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜邊AB過(guò)點(diǎn)（0，2p）．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立解得交點(diǎn)、相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系、直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．