Question

14．已知二次函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x+1-2a．
（1）若f（x）只有一個零點，求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）在區(qū)間$（-1，0）及（0，\frac{1}{2}）$內(nèi)各有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若f（x）只有一個零點，則判別式△=0，解方程即可．
（2）根據(jù)一元二次函數(shù)根的分布建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）若f（x）只有一個零點，則判別式△=0，
即△=（2a-1）²-4（1-2a）=（2a-1）（2a+3）=0，
則a=$\frac{1}{2}$或a=-$\frac{3}{2}$．
（2）若f（x）在區(qū)間$（-1，0）及（0，\frac{1}{2}）$內(nèi)各有一個零點，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）＞0}\\{f（0）＜0}\\{f（\frac{1}{2}）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3-4a＞0}\\{1-2a＜0}\\{\frac{3}{4}-a＞0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{3}{4}}\\{a＞\frac{1}{2}}\\{a＜\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{4}$，
即實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用一元二次函數(shù)根與判別式△之間的關(guān)系，結(jié)合一元二次函數(shù)根的分布是解決本題的關(guān)鍵．