Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²-x）lnx-

1

2

ax²+x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在（e，f（e）處的切線(xiàn)方程（e=2.718…）
（2）已知x=e為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求曲線(xiàn)y=f（x）在（e，f（e）處的切線(xiàn)方程（e=2.718…）
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和極值和單調(diào)性之間的關(guān)系，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵a=0，
∴f（x）=-xlnx+x，f′（x）=-lnx，
則直線(xiàn)的斜率k=f′（e）=-lne=-1，
f（e）=-elne+e=-e+e=0，
故所求切線(xiàn)方程為x+y-e=0．
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=（2ax-1）lnx-ax-1+ax+1=（2ax-1）lnx，
∵x=e為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（e）=2ae-1=0，解得a=

1

2e

（經(jīng)檢驗(yàn)符合題意）
則f′（x）=（

x

e

-1）lnx=

x-e

e

lnx，
由f′（x）=0得x=1或x=e，
列表得

x	（0，1）	1	（0，1）	e	（e，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	減	極小值	增

所以函數(shù)f（x）在（0，1）和（e，+∞）內(nèi)是增加的，在（0，1）內(nèi)是減少的．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)切線(xiàn)的求解，以及函數(shù)極值和單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，要求熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．