設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0)，若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).求證：f(x+)為偶函數(shù).

證明略


解析:

方法一  （混合型分析法）

要證f(x+)為偶函數(shù)，只需證明其對(duì)稱(chēng)軸為x=0.

即只需證--=0.

只需證a=-b.（中途結(jié)果）

由已知，拋物線f(x+1)的對(duì)稱(chēng)軸x=-1與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

∴-1=-.

于是得a=-b（中途結(jié)果）.

∴f(x+)為偶函數(shù).

方法二  （混合型分析法)

記F（x）=f(x+)，

欲證F（x）為偶函數(shù)，只需證F（-x）=F（x），

即只需證f(-x+)=f(x+)，（中途結(jié)果）.

由已知，函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)f(x)與f(-x)的圖象也是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的，

∴f（-x）=f（x+1）.

于是有f (-x+)=f [-(x-)]

=f [(x-)+1]=f (x+)（中途結(jié)果）.

∴f(x+)為偶函數(shù).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

13、設(shè)f（x）=ax2+bx+c（a≠0），對(duì)于任意-1≤x≤1，有f（x）|≤1；求證|f（2）|≤7．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于函數(shù)f（x），其定義域?yàn)镈，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，則稱(chēng)f（x）為定義域上的凸函數(shù)．
（1）設(shè)f（x）=ax2（a＞0），試判斷f（x）是否為其定義域上的凸函數(shù)，并說(shuō)明原因；
（2）若函數(shù)f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）為其定義域上的凸函數(shù)，試求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）=ax2+x-a，g（x）=2ax+5-3a
（1）若f（x）在x∈[0，1]上的最大值是
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，求a的值；
（2）若對(duì)于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍；
（3）若f（x）=g（x）在x∈[0，1]上有解，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

對(duì)于給定正數(shù)k，定fk（x）=
f(x)   (f(x)≤k)
k    (f(x)＞k)
，設(shè)f（x）=ax2-2ax-a2+5a+2，對(duì)任意x∈R和任意a∈（-∞，0）恒有fk(x)=
f(x)
，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•閔行區(qū)二模）設(shè)f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，則f（2）的最大值為
14
14
．

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