Question

15．已知定點${F_1}（-\sqrt{2}，0）$，動點B是圓${F_2}：{（x-\sqrt{2}）^2}+{y^2}=12$（F₂為圓心）上一點，線段F₁B的垂直平分線交BF₂于P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若直線y=kx+2（k≠0）與P點的軌跡交于C、D兩點．且以CD為直徑的圓過坐標原點，求k的值．

Answer 1

分析 （1）判斷P點軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．設(shè)其標準方程，求出a，b即可得到所求方程．
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，通過△＞0得k²＞1．設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），通過韋達定理，結(jié)合x₁x₂+y₁y₂=0，求出k，即可得到結(jié)果．

解答 （10分）
解：（1）由題意|PF₁|=|PB|且$|{PB}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{3}$，∴$|{P{F_1}}|+|{P{F_2}}|=2\sqrt{3}$$＞2\sqrt{2}$
∴P點軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓．設(shè)其標準方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）
∴$2a=2\sqrt{3}$即$a=\sqrt{3}$；又$c=\sqrt{2}$∴b²=a²-c²=1，∴P點軌跡方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．…（4分）
（2）假設(shè)存在這樣的k，由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\{x^2}+3{y^2}-3=0\end{array}\right.$得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
由△=（12k）²-36（1+3k²）＞0得k²＞1．
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=-\frac{12k}{{1+3{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{9}{{1+3{k^2}}}\end{array}\right.$①，…（6分）
若以CD為直徑的圓過坐標原點，
則有x₁x₂+y₁y₂=0，而${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$，∴${x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4=0$②，
將①式代入②式整理可得${k^2}=\frac{13}{3}$，其值符合△＞0，
故$k=±\frac{{\sqrt{39}}}{3}$．…（10分）

點評 本題考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及設(shè)而不求方法的應(yīng)用，是中檔題．