Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0）的焦點分別為 、 ，點P在橢圓C上，滿足|PF1|=7|PF2|，tan∠F1PF2=4 ．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點A（1，0），試探究是否存在直線l：y=kx+m與橢圓C交于D、E兩點，且使得|AD|=|AE|？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）∵tan∠F1PF2=4 ．∴cos∠F1PF2= ．設|PF1|=m，|PF2|=n，∵|PF1|=7|PF2|，∴m=7n．
聯(lián)立 ，解得a=2，m= ，n= ．
∴b2=a2﹣c2=1，
故所求C的方程為 ．
（II）假設存在直線l滿足題設，設D（x1 ， y1），E（x2 ， y2），
將y=kx+m代入 并整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，
由△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）=﹣16（m2﹣4k2﹣1）＞0，
得4k2+1＞m2 ， ①
又 ，
設D，E中點為M（x0 ， y0），M ，
∵kAMk=﹣1，得② ，
將②代入①得 ，
化簡得20k4+k2﹣1＞0（4k2+1）（5k2﹣1）＞0，解得 或
∴存在直線l，使得|AD|=|AE|，此時k的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）由tan∠F1PF2=4 ．可得cos∠F1PF2= ．設|PF1|=m，|PF2|=n，由|PF1|=7|PF2|，可得m=7n．
利用橢圓的定義及其余弦定理可得 ，解得即可得出．（II）假設存在直線l滿足題設，設D（x1 ， y1），E（x2 ， y2），將y=kx+m代入橢圓方程可得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由于△＞0，可得4k2+1＞m2 ， 設D，E中點為M（x0 ， y0），利用根與系數(shù)的關系可得： ，利用kAMk=﹣1，得 ，代入△＞0解出即可．