Question

11．橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1上一點P，M（1，0），則|PM|的最大值為1+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設出橢圓上任意一點的參數坐標，由兩點間的距離公式寫出|PM|，利用配方法通過三角函數的有界性求其最大值．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
設P點坐標是（$\sqrt{2}$cost，sint）
則|PM|=$\sqrt{（\sqrt{2}cost-1）^{2}+si{n}^{2}t}$=$\sqrt{co{s}^{2}t-2\sqrt{2}cost+2}$
=$\sqrt{（cost-\sqrt{2}）^{2}}$=|cost-$\sqrt{2}$|∈[$\sqrt{2}-1$，1+$\sqrt{2}$]．
∴當cost=-1時，|PM|取得最大值為：1$+\sqrt{2}$．
故答案為：1+$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了橢圓的簡單幾何性質，考查了橢圓的參數方程，訓練了函數最值的求法，是中檔題．