Question

已知：數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=2a_n-2n，（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n
（2）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=log₂（a_n+2），T_n為數(shù)列{

bn

an+2

}的前n項(xiàng)和，求證：T_n≥

1

2

；
（3）數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得a_n+2=2（a_n-1+2），從而{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，由此得到an=2n+1-2．
（2）由已知得

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，由此利用錯(cuò)位相減法能證明Tn≥

1

2

．
（3）假設(shè)存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列，則2^r+1-2+2^t+1-2=2•2^s+1-4，由此推導(dǎo)出不存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列．

解答： （1）解：∵S_n=2a_n-2n，（n∈N^*），
∴S_n-1=2a_n-1-2n+1，n≥2，
∴a_n=2a_n-1+2，n≥2，
∴a_n+2=2（a_n-1+2），
∴{a_n+2}是以4為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列
∴an=2n+1-2．（4分）
（2）證明：∵b_n=log₂（a_n+2）=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
∴Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，①

1

2

Tn=

2

23

+

3

24

+…+

n+1

2n+2

，②
錯(cuò)位相減法得：Tn=

3

2

-

n+3

2n+1

當(dāng)n≥2時(shí)，Tn-Tn-1=

n+1

2n+1

＞0，
∴{T_n}是遞增數(shù)列，則Tn≥T1=

1

2

，
∴Tn≥

1

2

．（8分）
（3）解：假設(shè)存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列，
且a_r＜a_s＜a_t
則a_r+a_t=2a_s
即：2^r+1-2+2^t+1-2=2•2^s+1-4，
1+2t-r=2s-r+1

∵t-r，s-r+1

均為正整數(shù)，等式左端為奇數(shù)，
右端為偶數(shù)，顯然不成立．
∴不存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查列{a_n}的通項(xiàng)公式的求法，考查T_n≥

1

2

的證明，考查數(shù)列{a_n}中是否存在三項(xiàng)a_r，a_s，a_t，（r＜s＜t）成等差數(shù)列的判斷與求法，解題時(shí)要注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．