Question

7．已知中心在原點的橢圓C的右焦點為（1，0），一個頂點為$（0，\sqrt{3}）$，若在此橢圓上存在不同兩點關(guān)于直線y=2x+m對稱，則m的取值范圍是（　　）

• A． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{3}，\frac{{\sqrt{15}}}{3}$）
• B． （$-\frac{{2\sqrt{13}}}{13}，\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$）
• C． （$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$）
• D． （$-\frac{{\sqrt{15}}}{13}，\frac{{\sqrt{15}}}{13}$）

Answer 1

分析 由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a$＞b\$＞0），可得c=1，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²．解出即可得出橢圓的標準方程．設(shè)與直線y=2x+m垂直的直線方程為y=-$\frac{1}{2}$x+t，此直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．線段AB的中點為M（x₀，y₀）．與橢圓方程聯(lián)立化為：x²-tx+t²-3=0，可得△＞0，解得t范圍．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式即可得出．

解答 解：由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a$＞b\$＞0），則c=1，b=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²=4．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
設(shè)與直線y=2x+m垂直的直線方程為y=-$\frac{1}{2}$x+t，此直線與橢圓相交于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
線段AB的中點為M（x₀，y₀）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：x²-tx+t²-3=0，
△=t²-4（t²-3）＞0，解得-2＜t＜2（*）
∴x₁+x₂=t=2x₀，解得x₀=$\frac{1}{2}t$．
y₀=$-\frac{1}{2}{x}_{0}$+t=$\frac{3}{4}$t．
∴M$（\frac{1}{2}t，\frac{3}{4}t）$，代入直線y=2x+m，可得：$\frac{3}{4}t$=t+m，
可得t=-4m．
代入（*）可得：-2＜-4m＜2，解得$-\frac{1}{2}＜m$＜$\frac{1}{2}$．
∴m的取值范圍是$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．
故選：C．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．