Question

12．已知0＜a＜2，證明：$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{2-a}$≥$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 利用$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$證明．

解答 解：∵0＜a＜2，∴2-a＞0，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}=\frac{1}{2}×（\frac{1}{a}+\frac{4}{2-a}）（a+2-a）$=$\frac{1}{2}$（5+$\frac{2-a}{a}+\frac{4a}{2-a}$）$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{\frac{2-a}{a}×\frac{4a}{2-a}}）=\frac{9}{2}$
當(dāng)$\frac{2-a}{a}=\frac{4a}{2-a}$，即a=$\frac{2}{3}$時(shí)，取等號(hào)

點(diǎn)評(píng) 本題考查了綜合法證明不等式，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造均值不等式的形式，屬于中檔題．