分析 實數x,y,z為正數,則$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{\frac{x}{y}+\frac{z}{y}}{(\frac{x}{y})^{2}+1+(\frac{z}{y})^{2}}$,令$\frac{x}{y}$=a>0,$\frac{z}{y}$=b>0,a+b=t>0.則$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}+1}$≤$\frac{a+b}{\frac{(a+b)^{2}}{2}+1}$=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}$,再利用基本不等式的性質即可得出.
解答 解:∵實數x,y,z為正數,則$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{\frac{x}{y}+\frac{z}{y}}{(\frac{x}{y})^{2}+1+(\frac{z}{y})^{2}}$,
令$\frac{x}{y}$=a>0,$\frac{z}{y}$=b>0,a+b=t>0.
則$\frac{xy+yz}{{{x^2}+{y^2}+{z^2}}}$=$\frac{a+b}{{a}^{2}+^{2}+1}$≤$\frac{a+b}{\frac{(a+b)^{2}}{2}+1}$=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}}{2}+1}$=$\frac{1}{\frac{t}{2}+\frac{1}{t}}$≤$\frac{1}{2\sqrt{\frac{t}{2}×\frac{1}{t}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,當且僅當t=$\sqrt{2}$,即a=b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,即$\frac{x}{y}$=$\frac{z}{y}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號.
故答案為:$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
點評 本題考查了換元法、基本不等式的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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