Question

P為橢圓

x2

25

+

y2

9

=1上一點，F(xiàn)₁、F₂為左右焦點，若∠F₁PF₂=60°
（1）求△F₁PF₂的面積；
（2）求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)橢圓的方程求得c，進而求得|F₁F₂|，設(shè)出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面積公式求解．
（2）先設(shè)P（x，y），由三角形的面積S△F1PF2=

1

2

•2c•|y|=4•|y|得∴|y|=

3 3

4

?y=±

3 3

4

，將y=±

3 3

4

代入橢圓方程解得求P點的坐標．

解答：解：∵a=5，b=3
∴c=4（1）
設(shè)|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
則t₁+t₂=10①t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=8²②，
由①²-②得t₁t₂=12，
∴S△F1PF2=

1

2

t1t2•sin60°=

1

2

×12×

3

2

=3

3

（2）設(shè)P（x，y），由S△F1PF2=

1

2

•2c•|y|=4•|y|得4|y|=3

3

∴|y|=

3 3

4

?y=±

3 3

4

，將y=±

3 3

4

代入橢圓方程解得x=±

5 13

4

，∴P(

5 13

4

，

3 3

4

)或P(

5 13

4

，-

3 3

4

)或P(-

5 13

4

，

3 3

4

)或P(-

5 13

4

，-

3 3

4

)

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程、橢圓的簡單性質(zhì)．解答的關(guān)鍵是通過解三角形，利用邊和角求得問題的答案．