Question

9．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，且△ABC為等邊三角形，AA₁=AB=6，D為AC的中點．
（1）求證：直線AB₁∥平面BC₁D；
（2）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（3）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）連接B₁C交BC₁于O，連接OD，證明OD∥B₁A，由線面平行的判定定理證明AB₁∥平面C₁BD．
（2）由線面垂直的判定定理得出BD⊥平面A₁ACC₁，再由面面垂直的判定定理得出平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（3）利用等體積轉(zhuǎn)換，即可求三棱錐C-BC₁D的體積．

解答 （1）證明：如圖所示，
連接B₁C交BC₁于O，連接OD，
因為四邊形BCC₁B₁是平行四邊形，
所以點O為B₁C的中點，
又因為D為AC的中點，
所以O(shè)D為△AB₁C的中位線，
所以O(shè)D∥B₁A，
又OD?平面C₁BD，AB₁?平面C₁BD，
所以AB₁∥平面C₁BD．
（2）證明：因為△ABC是等邊三角形，D為AC的中點，
所以BD⊥AC，
又因為AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BD，
根據(jù)線面垂直的判定定理得BD⊥平面A₁ACC₁，
又因為BD?平面C₁BD，
所以平面C₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3$\sqrt{3}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$×3×3$\sqrt{3}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{C-B{C}_{1}D}$=${V}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{9\sqrt{3}}{2}$•6=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了空間想象能力與邏輯思維能力的應(yīng)用問題，考查了錐體體積公式的應(yīng)用，是綜合性題目．屬于中檔題．