Question

已知R上可導函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0的解集為（ ）

A．（-∞，-2）∪（1，+∞）
B．（-∞，-2）∪（1，2）
C．（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞）
D．（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意結合圖象求出f′（x）＞0的解集與f′（x）＜0的解集，因此對原不等式進行化簡與轉化，進而得到原不等式的答案．
解答：解：由圖象可得：當f′（x）＞0時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以f′（x）＞0的解集為（-∞，-1），（1，+∞），
當f′（x）＜0時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以f′（x）＜0的解集為（-1，1）．
所以不等式f′（x）＜0即與不等式（x-1）（x+1）＜0的解集相等．
由題意可得：不等式（x²-2x-3）f′（x）＞0等價于不等式（x-3）（x+1）（x+1）（x-1）＞0，
所以原不等式的解集為（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞），
故選D．
點評：解決此類問題的關鍵是熟悉函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系，以及掌握讀圖與識圖的技巧再結合不等式的解法即可得到答案．