已知函數(shù)f（x）=x2-2x+k，是否存在實數(shù)k，當a+b≤2時，使得函數(shù)f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．
考點：二次函數(shù)的性質(zhì)
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用
分析：由已知得a＜1，當b＜1時，
a2-2a+k=b
b2-2b+k=a
，兩式相減可得：a+b=1，由根的分布規(guī)律可知：1＜k＜
5
4
；當b≥1時，
a=k-1＜1
b=a2-2a+k≥1，且b≤2-a
，得0≤k≤1．由此能求出k的取值范圍．
解答： 解：∵f（x）=（x-1）2+k-1，
又a+b≤2且a＜b，∴a＜1；
當（ⅰ） b＜1時，f（x）在區(qū)間[a，b]上遞減，
進而有：
a2-2a+k=b
b2-2b+k=a
，
兩式相減可得：a+b=1，
于是a，b可看成是方程x2-x+k-1=0兩根，
由根的分布規(guī)律可知：1＜k＜
5
4
；
當（ⅱ）b≥1時，則根據(jù)題意有：
a=k-1＜1
b=a2-2a+k≥1，且b≤2-a
，
∴-1≤a≤0
進而：0≤k≤1．
綜上，得到：0≤k＜
5
4
．
點評：本題考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想、根的分布規(guī)律、二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
sinxcosx+
1
2
cos（π+2x）．
（Ⅰ）求函數(shù)的周期；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移
π
6
個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知P（x，y）為函數(shù)y=1+lnx圖象上一點，O為坐標原點，記直線OP的斜率k=f（x）．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+
1
3
）（m＞0）上存在極值，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）設g（x）=
1+x
a(1-x)
[xf（x）-1]，若對任意x∈（0，1）恒有g（x）＜-2，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-8|-|x-4|．
（Ⅰ）解不等式|x-8|-|x-4|＞2；
（Ⅱ）f（x）＞a在x∈[-3，5]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=Asin（ωx+φ）+B的一部分圖象如圖所示，如果A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知-
1
2
＜a＜0，A=1+a2，B=1-a2，C=
1
1+a
，D=
1
1-a
，試比較A，B，C，D的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）2+2（cos2x-1）
（1）求f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間
（2）當x∈[0，
π
2
]，求f（x）的最大值以及取得最大值時的x取值集合．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線斜率；
（2）若函數(shù)f（x）在x∈（0，e]上的最大值為-3；求a的值；
（3）設g（x）=x2-2x+2，若對任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（1，1），
b
=（x2，x+λ）且
a
∥
b
，則實數(shù)λ的最小值是
 
．

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