Question

14．已知點(diǎn)P是橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一點(diǎn)，A（4，0），若M為線段PA中點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡方程是（　�。�

• A． （x-2）²+4y²=1
• B． （x-4）²+4y²=1
• C． （x+2）²+4y²=1
• D． （x+4）²+4y²=1

Answer 1

分析 設(shè)AP的中點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)P（m，n），則 $\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1   ①，把點(diǎn)M和點(diǎn)P坐標(biāo)間的關(guān)系代入①式建立關(guān)于x，y的方程．即可得到線段AP的中點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：設(shè)AP的中點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1 ①．
由中點(diǎn)公式得 x=$\frac{4+m}{2}$，y=$\frac{n}{2}$，
∴m=2x-4，且n=2y  ②，
把②代入①得$\frac{{（2x-4）}^{2}}{4}$+（2n）²=4，
即（x-2）²+4n²=1
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用代入法求軌跡方程，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，把中點(diǎn)M（x，y），點(diǎn)P（m，n） 坐標(biāo)間的關(guān)系代入①式，是解題的關(guān)鍵．