Question

（2007•廣州模擬）如圖，四面體ABCD，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

，
（1）求證：AO⊥BC；
（2）求二面角B-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要證線線垂直可通過線面垂直得到線線垂直故可根據(jù)條件得到AO⊥BD以及求出AO，OC的值然后可得出AO²+OC²=AC²即AO⊥OC則根據(jù)線面垂直的判定定理可得AO⊥面BCD后即可得證．
（2）可利用空間向量法作：由（1）得AO，BO，CO兩兩互相垂直故可以O(shè)B、OC、OA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系然后求出面ABC面ACD的法向量

n

，

v

再利用向量的夾角公式cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n |•| v |

即可得解．

解答：（1）證明：∵AB=AD=

2

，O是BD的中點(diǎn)
∴AO⊥BD
又∵BD=2
∴AD=

2

∵CB=CD=2
∴OC=

3

∵AO²+OC²=4=AC²
∴∠AOC=90°
∴AO⊥OC   
 又∵BD∩OC=O
∴AO⊥面BCD
∴AO⊥BC
（2）解：分別以O(shè)B、OC、OA為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系
則 B（1，0，0）、C（0，

3

，0）、A（0，0，1）、D（-1，0，0）

AC

=（0，

3

，-1）

BC

（-1，

3

，0）

DC

=（1，

3

，0）
設(shè)面ABC面ACD的法向量分別為

n

=（1，y₁，z₁），

v

=（1，y₂，z₂）
∴

n • AC =0 n • BC =0

⇒

n

=（1，-

3

3

，1）

v • AC =0 v • DC =0

⇒

v

=（1，-

3

3

，-1）
∴cos＜

n

，

v

＞=

n • v

| n |•| v |

=

1

7

∴二面角B-AC-D的余弦值為

1

7

點(diǎn)評：本題主要考察了線線垂直的證明和二面角的求解，屬�？碱}型，較難．解題的關(guān)鍵是要掌握線線垂直常通過線面垂直得出而對于二面角的求解可采用向量法求解但計(jì)算一定要準(zhǔn)確無誤！