Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ﹣ ．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）的單調(diào)性，并用定義證明；
（3）解不等式f（f（x））+f（ ）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：由2x+1＞1得函數(shù)的定義域?yàn)镽，

又f（﹣x）+f（x）= ﹣ + ﹣ = + ﹣1=1﹣1=0．

則f（﹣x）=﹣f（x），

故f（x）為奇函數(shù)

（2）解：f（x）為R上的減函數(shù)

證明如下：

任取x1＜x2，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣ ﹣ + = ﹣ = ，

∵x1＜x2，∴ ＜ ，

則f（x1）﹣f（x2）= ＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

故f（x）為R上的減函數(shù)

（3）解：由（1）（2）知f（x）在R上是奇函數(shù)且單調(diào)遞減，

由f（f（x））+f（ ）＜0得f（f（x））＜﹣f（ ）=f（﹣ ），

則f（x）＞﹣ ，

∴ ﹣ ＞﹣ ，

即2x＜7，得x＜log27，

故不等式的解集為（﹣∞，log27）

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法進(jìn)行證明，（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和函數(shù)的奇偶性的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．